7.0 KB · ⇊ 3 parts · ⤓ Micron 7.0 KB · ⤓ HTML 25.3 KB

top

In un mwbatriangolo rettangolo è detto mwbqcateto (dal mwbggreco mwbwkáthetos, κάθετος: linea mwcaperpendicolare) ciascuno dei due mwcqlati adiacenti all'mwcgangolo retto. Il lato opposto all'angolo retto si chiama invece mwcwipotenusa.

• Calcolo della lunghezza

• Dati gli altri lati

• Dati l'ipotenusa e un angolo

• Dati l'altro cateto e un angolo acuto

• Considerazioni

• Proiezione dei cateti

• Voci correlate

• Collegamenti esterni

La mwewrelazione fondamentale fra i lati di un triangolo rettangolo è stabilita dal mwfateorema di Pitagora, che può essere adoperato per calcolare la misura di un cateto quando sono note le misure degli altri due lati. Con i metodi della mwfqtrigonometria è anche possibile determinare la misura di un cateto conoscendo la misura di uno solo degli altri lati insieme all'ampiezza di uno degli mwfgangoli acuti del triangolo rettangolo.

Nelle mwgaformule riportate qui sotto indicheremo con mwgqi l'ipotenusa, e con mwggcmwgw1 e mwhacmwhq2 i due cateti di un generico triangolo rettangolo. Gli angoli opposti ai cateti mwhgcmwhw1 e mwiacmwiq2 saranno rispettivamente mwigmwiwγmwja1 e mwjqmwjgγmwjw2.

La misura di un cateto equivale alla mwkgradice quadrata della mwkwdifferenza tra i mwlaquadrati delle misure dell'ipotenusa e dell'altro cateto. Questo enunciato è una conclusione diretta del teorema di Pitagora.

mwlw c 1 = i 2 − − c 2 2 c 2 = i 2 − − c 1 2 {\displaystyle c_{1}={\sqrt {{i^{2}}-{c_{2}^{2}}}}\qquad c_{2}={\sqrt {{i^{2}}-{c_{1}^{2}}}}}

La misura di un cateto equivale a quella dell'ipotenusa moltiplicata per il mwmgseno dell'angolo opposto, o per il mwmwcoseno dell'angolo adiacente.

mwng c 1 = i ⋅ ⋅ sin ⁡ ⁡ γ γ 1 = i ⋅ ⋅ cos ⁡ ⁡ γ γ 2 {\displaystyle c_{1}=i\cdot \sin \gamma _{1}=i\cdot \cos \gamma _{2}}

mwoa c 2 = i ⋅ ⋅ sin ⁡ ⁡ γ γ 2 = i ⋅ ⋅ cos ⁡ ⁡ γ γ 1 {\displaystyle c_{2}=i\cdot \sin \gamma _{2}=i\cdot \cos \gamma _{1}}

La misura di un cateto equivale a quella dell'altro cateto moltiplicata per la mwowtangente dell'angolo opposto al primo, o per la mwpacotangente dell'angolo adiacente.

mwpw c 1 = c 2 ⋅ ⋅ tan ⁡ ⁡ γ γ 1 = c 2 ⋅ ⋅ cot ⁡ ⁡ γ γ 2 {\displaystyle c_{1}=c_{2}\cdot \tan \gamma _{1}=c_{2}\cdot \cot \gamma _{2}}

mwqq c 2 = c 1 ⋅ ⋅ tan ⁡ ⁡ γ γ 2 = c 1 ⋅ ⋅ cot ⁡ ⁡ γ γ 1 {\displaystyle c_{2}=c_{1}\cdot \tan \gamma _{2}=c_{1}\cdot \cot \gamma _{1}}

Con il teorema di Pitagora è facile dimostrare che la misura di uno dei cateti è sempre minore di quella dell'ipotenusa. Tenendo presente che tutti i lati misurano più di zero:

c

1

2

=

i

2

−

−

c

2

2

⇒

⇒

c

1

2

<

i

2

⇒

⇒

c

1

<

i

{\displaystyle c_{1}^{2}=i^{2}-c_{2}^{2}\Rightarrow c_{1}^{2}<i^{2}\Rightarrow c_{1}<i}

Alla stessa conclusione si giunge applicando il mwrwteorema dei seni.

Le proiezioni dei cateti (mwswα, mwtaβ) sull'ipotenusa sono strettamente legate alla lunghezza dei cateti (mwtqa, mwtgb) dalle seguenti relazioni

mwuq a 2 α α = b 2 β β = i {\displaystyle {\frac {a^{2}}{\alpha }}={\frac {b^{2}}{\beta }}=i} giustificazione può essere trovata nel mwugprimo teorema di Euclide

mwvq a 2 + β β 2 = b 2 + α α 2 {\displaystyle a^{2}+\beta ^{2}=b^{2}+\alpha ^{2}}

mwvw

• mwxqGeometria

• mwxwGeometria euclidea

• mwyqTriangolo

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Cathetus, su MathWorld, Wolfram Research.